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4. 프레게의 철학적 논리학

 

Gregory Currie(1982), 『Frege: An Introduction To His Philosophy』, The Harvester Press Limited.

번역: 파깨비


이 내용에 대한 예비 읽을 거리: 프레게 기본 소개

프레게의 철학적 논리학

프레게가 그의 논리학과 산술학적 이론을 개발함과 동시에 그는 논리학과 산술에 추가적인 철학적 빛을 던져 주고자 의도된 다수의 아이디어들과 구분들을 도입했다. 이 아이디어들 중의 일부는 Basic Laws의 개괄 절에서 요약되었고, 두 부류의 글들에서 길게 설명되었다. 첫째는 1891년과 1892년 사이에 출판된 세 논문들로 구성되었으며 두 번째 것은, 역시 세 논문들로 구성되는데 1918년과 1923년에 발표되었다. 이것은 그가 죽기 직전의 논문들이다. 발표되지 않은 논문들의 다수도 역시 중요한 정보를 담고 있다. 이 장은 이러한 아이디어들에 대해서 설명한다.

(a) 함수와 대상

(i) 일반적 설명
우리는 프레게가 『기초들』에서 개념들과 대상들을 어떻게 구분했는지 살펴보았다. 비록 그는 그 구분이 무엇에 기초한 것인지를 자세히 설명하지 않았지만 말이다. 우리는 또한 『개념표기법』에서 그가 어떻게 함수를 나타내는 부분과 대상들을 나타내는 부분들(이 부분들은 함수의 논항들인데)로 분석될 수 있다고 보았는지 살펴보았다. 개념들과 대상들 간의 구분이 함수들과 대상들 간의 구분의 특별한 경우로 나타난다. 그리고 이 후자의 구분은 프레게에게 있어서 상당히 근본적인 중요성을 가지고 있다.

프레게는 함수들과 대상들 간의 구분을 함수와 그 논항들을 나타내는 데 사용될 수 있는 종류의 표현에 대한 구분을 통해서 소개한다. 이것은 그가 글을 쓰던 당시에 상당히 많은 혼란이 있던 것이었으며, 함수들 자체의 본성에 대한 혼란으로 귀결된다. (나는 나중에 이 것에 대해서 더 언급하겠다.) 함수들은 전형적으로 “”에서와 같이, ‘변항들’이라 불리우는 것을 포함하는 표현들로 나타내어졌으며 이로 인해서 함수들은 ‘변항 숫자들’이라는 입장이 생겨났다. 하지만 프레게가 지적했듯이, 각각의 숫자는 definite entity이다. 즉 변항 숫자들(variable numbers)이란 없다. 함수들은 좀 다른 방식으로 설명되어야 한다. 그에 따르면 변항 x는 함수 자체의 부분인 어떤 것을 나타내지 않는다. 그것은 함수가 다른 숫자를 얻기 위해서 어떤 숫자를 공급함으로써 완전해질 필요가 있다는 것을 지적하는 한 방법일 뿐이다. 따라서 함수를 표기하는 다소 덜 혼란스러운 방법은 “”와 같이 될 것이다. 만약 우리가 빈칸들에 어떤 숫자를 지시하는 표현을 입력한다면, 예를 들어 ‘3’과 같은, 우리는 논항 3에 대한 함수의 값(value)를 지시하는 복합적인 표현을 얻는다. 즉, 우리는 “”을 얻으며 이것은 57을 지시한다.

사실, 하나 이상의 변항을 가진 함수들이 있기 때문에, 그리고 어떤 대입들이 서로 다른 논항 자리들에 적절한지를 알 필요가 있기 때문에 우리는 빈 자리들에 채울 어떤 표기법을 필요로 한다. 만약 우리가 ‘( )+( )’라고 쓴다면 이것이 하나의 변항을 가진 함수, 그래서 우리가 양 빈 자리에 같은 숫자를 지시하는 기호를 대입해야 하는 함수, 예를 들어 ‘2+2’와 같이, 인지, 아니면 이것이 두 개의 변항을 가진 함수라서 독립적인 대입들이 이루어질 수 있는, 그래서 ‘2+3’과 같은 함수인지가 분명치 않다. 변항들을 사용함으로써 이러한 두 다른 가능성들이 ‘x+x’와 ‘x+y’로 각각 표상된다. 프레게는 실제로 소문자 그리이스 글자를 사용한다. 이후로부터 나는 함수나 개념을 ‘’와 같이 정상적으로 표시하겠지만, 때로는 나는 ‘’라고 쓸 것이다.

프레게는 이제, 함수들이 그가 “불완전한”(혹은 불포화된“) 것들이라고 부르는 것임을 주장한다. 우리가 함수 그 자체의 본성을 구분하는 것은 함수에 대한 표현의 구조에 의거한 것이다. 다음과 같은 표현들, 에서 우리는 동일한 함수 가 논항들 1, 4, 그리고 5에 적용되고 있음을 본다. 함수 그 자체에 대한 표현은 어떤 것도 지시하지 않는 부분들, 즉 변항들을 포함한다.

따라서, ‘함수’의 본질은 ‘x' 이상의 것에 있는 표현의 부분들에 있다. ’함수‘에 대한 표현은 ’충족, 채워짐을 필요로 한다‘. 함수는 논항에 의해서 충족된다. 충족됨에 따라서 그것의 결과는 그 논항에 대한 함수의 값(value)라고 부른다. … 따라서 논항은 ’함수‘의 부분으로서 간주되어서는 안된다. 하지만 함수를 충족시키는 역할을 한다. 함수는 그 자체 불포화된 것이다.

충족됨은 어떤 대상의 특징을 규정하는 것이며, 그것이 무엇이든 대상이 아닌 것이 함수이다.

프레게의 의미에서 불완전한 어떤 것이든 그것이 왜 함수가 되어야 하는가에 대해서 논변을 구성하는 것은 쉽다. 직관적인 관점에서, 함수는 어떤 주어진 대상이든 그것을 다른 독특한 대상과 상호관련시키는 어떤 것이다. 불완전한 개체를 고려해 보자. 우리는 어떤 대상이든 취해서 그 대상을 줌으로써 그렇지 않았더라면 불완전했을 개체를 충족시킬 수 있다. 그 불완전한 개체는 이제 충족되고 우리는 새로운, 독특한 대상을 얻는다. 따라서 불완전한 것은 어떤 대상에서 다른 대상으로 가는 한 방법을 우리에게 준다. 그것은 달리 말하면 함수이다.

프레게는 불오나전성의 본성에 대해서 다양한 은유적 설명을 제공했다. 한 곳에서 그는 함수를 직선 위의 열린 간격에 비교한다. 또 다른 곳에서 그는 함수가 “그 스스로는 똑바로 서 있을 수 없지만 한 쪽에서는 그것을 입을 어떤 사람을 필요로 하는” 외투와 같다고 말한다. 하지만 또 다른 설명은 불완전함을 다음과 같이 설명한다.

어떤 대상, 예를 들어서 숫자 2는 다른 대상, 예를 들어서 쥴리어스 시저에, 어떤 연결수단 없이는 논리적으로 가 붙을 수 없다. 이것은 다시 대상이 될 수 없으며, 다만 불포화되어야만 한다. 전체에로의 어떤 논리적 연결은 오직 이것을 통해서만 실현되며, 불포화된 부분은 하나나 그 이상의 부분들에 의해 포화되었거나 충족된다.

여기서 프레게는 관계의 불완전성함에 대해서 말하고 있으며 이것을 이해하기 위해서는 우리는 개념들의 동화와 함수들의 관계들을 이해해야만 한다.

(ii) 함수로서의 개념
프레게는 수학적 의미에서의 함수의 관념이 다양한 외연들을 경험하는 정도에 대해서 언급한다. 17세기의 연산의 발전과 그것을 기계에 적용함으로써, 함수들은 수학에서 중심적인 위치를 갖게 되었다. 하지만 여전히 함수의 개념은 불명료했다. 비록 18세기에서의 수학이 함수의 예들에 매우 친숙하고 그에 대한 어떤 결과를 증명할 수 있었지만 그들은 함수들이 무엇인가에 대해서 아무런 관념을 가지고 있지 않았다고 말하는 것은 과장이 아닐 것이다. 어떤 때는 함수가 기하학적인 의미에서 그래프로 이해되었고, 어떤 때는 그것이 함수를 나타내는데 사용되는 표현과 동일시되었다. 점차적으로 함수들이 매우 폭넓고 다룬 영역의 속성을 가지고 있음이 인지되었다. 어떤 함수들은 특정 값에 수렴하는 데 반해서 다른 것들은 그렇지 않았다. 어떤 함수들은 연속적이지만 다른 함수들은 불연속적이었다. 19세기 중반에 함수들은 어떤 의미에서의 현대적인 관점에서 함수들이 사고되기 시작했다. 오늘날 우리는 함수가 두 집합의 숫자들 간의 상호 연고나의 모든 종류로서, 그 각 논항이 최대 하나의 값에 관련되기만 하면 된다는 것을 알고 있다. 우리는 그러한 것을 ‘단일 값 대응’이라고 부른다. 이런 방식으로 함수의 관념은 기하학적 표상가능성과 단일 공식의 용어로 표현가능성의 속박에서 해방되었다.

하지만 여전히, 함수들은 상당히 좁은 의미에서 파악되었다. 그 논항과 값들은 주로 어떤 종류의 숫자들이어야 하는 것으로서 생각되었다. 다른 한편, 프레게는 함수의 관념을, 전통적인 의미에서 수학적 대상들인 논항과 값들을 도입함으로써, 확장하기를 원했다. 사실, 우리는 그가 함수들과 논항들에 대한 표현들의 관점에서 문장들과 그 부분들을 분석하고자 원했다는 것을 이미 보았다. 이 확장은 두 단계로 가장 잘 설명된다. 우선, 숫자를 그 논항들로 갖지만 그 함수값은 숫자가 아닌 함수를 고려해 보자. 예를 들어서 함수 의 논항들과 함수값들은 무엇인가? ‘x'에는 우리가 어떤 숫자든 우리가 원하는 것을 넣을 수 있다.

이러한 표현들은 문장들이다. 첫 번째 것은 참이자만 다른 것들은 거짓이다. 프레게는 이라는 함수에 대한 값이 ‘x'에 숫자가 넣어졌을 때 결과되는 문장들의 진리값이라고 제안한다. 우리가 의미와 지시체 간읙 n분을 논의한다면 우리는 이에 대해서 더 많은 것을 말하게 될 것이다. 따라서 함수 은 그 함수 값으로 항상 진리값을 갖는 함수이며 개념은 정확히 이와 같은 종류의 함수로 정의되는 것으로 드러난다. 즉 개념은 진리값을 그 함수값으로 갖는 함수이다.

만약 우리가 개념을, 대상들을 두 종류로 나누는 데에 영향을 미치는 어떤 것으로서 생각한다면, 우리는 이 정의에 더욱 직관적인 느낌을 줄 수 있다. “빨강”이라는 개념은 대상들을 빨간 것과 빨갛지 않은 것으로 구분한다. 이런 방식으로 우리는 “빨강”이라는 개념을 모든 대상들을 두 개의 진리값 중 하나로 갖는 함수로 해석할 수 있다. 그것은 어떤 대상이 빨갛다면 그 값을 참으로 갖고, 그렇지 않다면 그 값을 거짓으로 갖는다. 참 값과 상호연관되는 모든 함수들은 빨간 대상들의 집합을 형성하고 거짓의 값과 상호연관되는 모든 함수들은 빨갛지 않은 대상들의 집합을 형성한다. 우리의 수학적 예로 돌아오면, 우리는 함수 을 다른 말로, x의 제곱이 1과 같아짐이라고 표현하거나, 혹은 ‘1의 제곱근임’이라고 표현할 수 있다. 논항 1에 대해서 그 함수값은 참이라는 진리값을 갖고, 논항 2에 대해서는 그 함수값이 거짓이라는 진리값을 갖는다. 달리 말하면 1은 1의 제곱근이지만 2는 아니다. 논항에 상응하는 값이 참이라면 우리는 그 논항이 그 개념 ‘아래에 들어간다“고 말한다. 만약 그 값이 거짓이면 그 논항 그 개념 하에 들어가지 않는다. 어떤 개념 하에 들어감은 어떤 속성을 가짐과 같은 것으로서 생각될 수 있다. 1은 1의 제곱근임의 속성을 갖지만 2는 이 속성을 갖지 않는다.

관계들도 유사하게 처리된다. 어떤 관계는 두 개 이상의 논항들의 함수이며, 그 함수값은 항상 진리값이다. ‘x가 y보다 작다’라는 관계를 고려해 보자. 만약 우리가 ‘x’와 ‘y’에 대한 숫자 표현의 쌍을 대치한다면 우리는 참이거나 거짓인 문장들을 얻게 된다. ‘2가 3보다 작다’는 참이기 때문에 2와 3으로 이루어지는 쌍은 이 관계 하에 들어간다. ‘3은 2보다 작다’는 거짓이므로, 3과 2로 구성되는 쌍은 이 관계 하에 들어가지 않는다.

숫자와 진리값과는 달리, 함수들은 다른 종류의 값들을 가질 수 있다. 우리는 “독일의 수도”라는 표현을 함수적 표현 “~의 수도”와 그 논항 자리를 채우는 “독일”이라는 이름으로 나누는 것으로 생각할 수 있다. 이 논항에 대한 함수값은 베를린이다. 프랑스라는 논항에 대한 값은 파리가 되는 등이다.

(iii) 함수는 어떤 논항들을 가질 수 있는가?

지금까지 고찰된 모든 함수들은 자연적인 ‘정의의 논의영역’을 갖는 것으로 보인다. 즉, 그것들은 특정 논항들을 수용하며 다른 것들은 수용하지 앟게 만들어진 것으로 보인다. ‘3보다 작음’은 자연스럽게 그 논항들로 숫자를 받아들이며, ‘골의 정복자임’은 사람들을, 그리고 ‘프랑스의 수도임’은 도시들을 받아들인다. 시저가 3보다 작은지, 에콰도르가 골을 정복했는지, 혹은 프레게가 프랑스의 수도인지를 묻는 것은 별 의미가 없어 보인다. 하지만 여기서 프레게는 일반성에 대한 다른 급진적 확장을 요구한다. 모든 함수는 어떤 논항이든 확정된 값에 대해서는 그것을 받아들이도록 정의된다는 것이다. 따라서 우리는 시저가 3보다 작다는 것에 대해서는 그저 거짓이라고 말할 것이다. 논항 쌍, 시저와 3에 대해서 ‘보다 작음’이라는 함수는 거짓이라는 값을 갖는 것이다. 함수들이 개념이나 관계들인 경우, 즉 함수가 진리값만을 함수값으로 가질 경우는 처리하기 쉬워 보인다. 우리는 단지 ‘이상한’ 경우들에 거짓 값을 부여하기만 하면 된다. 하지만 덧셈과 같은 다른 종류의 함수들에 대해서는 어떤가? 이것은 x+y라는, 두 논항의 함수이다. 이 경우에 시저와 베를린이 논항이 되면 그 함수값은 무엇이 될까? 프레게는 그러한 경우에 우리가 그 함수값으로 무엇을 선택하는가는 중요하지 않다고 말한다. 중요한 것은 오직, 함수값이 있다는 것뿐이다. 따라서 우리는 ‘덧셈’을, 그것이 가질만하다고 기대하는 모든 함수값을 그 함수값으로 갖도록 정의하고, 만약 그 논항이 숫자가 아니면 그 함수값이 0이 되도록 정의할 수 있다.

프레게는, 함수들이 개념들이 잘 정의된 경계들을 가져야 한다는 토대 위에서 모든 논항들에 대해서 정의되어야 한다고 주장한다.

<인용문>

만약 우리가 어떤 논항들에 대해서는 정의되지 않은 함수들을 허용한다면 왜 논리적 법칙들을 시작하는 것이 불가능한가? 프레게의 마음 속에 있는 것은 이런 것이다. “홀수임”이라는 개념이 논항 ‘베를린’에 대해서는 정의되지 않았다고 가정해 보자. 그렇다면 베를린을 이 함수의논항 자리에 놓는 것은 어떤 함수값도 산출하지 않을 것이며, 참도 거짓도 아닐 것이다. “베를린은 홀수이다”라는 문장은 참도 거짓도 아닐 것이다. 하지만 그러면 “베를린은 홀수가 아니다”라는 문장에 대해서도 동일한 것이 성립할 것이다. 하지만 프레게가 보존하기를 원하는 논리학의 법칙들 중 하나는 모든 문장 P에 대해서, P가 참이거나 P가 아니다가 참이라는 것이다.
하지만 그것을 부정하기에 필수적인 의미에서 이 원칙을 거부한다고 하더라도 만약 우리가 어떤 함수들의 정의된 논의영역을 한정한다면 정밀한, 체계화된 방식으로 논리학을 하는 것이 불가능한 것은 아니다. 그 원리는 다음과 같이 재언급될 수 있다. 즉 어떤 문장 P가 진리값을 가진다면, 그것은 참 아니면 거짓이다라고. 프레게는 모든 논항에 대하여 정의되지 않은 개념들은 모호하다고 제안한다. 하지만 개념은 그것이 특정 논항에 대하여 어떤 값을 갖는지가 불분명할 때멘 모호할 것이다. 이런 의미에서 개념들의 모호성에 반대한 프레게는 옳았다. 왜냐하면 특정 논항에 대한 함수값이 불분명하게 규정되면, 어떤 사람은 이 값을, 다른 사람은 저 값을 취한 것이고 어느 쪽이 객관적으로 옳은지를 알 수 없을 테니까. 하지만 이런 상황은 생길 필요가 없는데, 그것은 오직 제한적으로 정의된 논의영역에 대한 함수와 개념들만을 허용할 것이기 때문이다. 정의된 논의영영과 그 논의영역에서의 모든 논항에 대한 함수값이 분명한 한, 모호성의 문제는 없을 것이다. 우리는, 어느 논항이 함수값으로 참인지, 어느 것이 거짓인지, 어느 것이 어느 것도 아닌지가 분명하다면, 개념을 객관적인 방식으로 사용할 수 있다.


(iv)

함수들과 그 ‘값들의 궤적’(courses of values: Werthverlaufe)이라 불리는 어떤 종류의 대상들 간에는 중요한 상응관계가 있다. 두함수가 같은 논항을 취할 때마다 같은 함수값을 갖는다고 가정해 보자. 이 경우 프레게는 두 함수의 값의 궤적이 같다고 말한다. 이것은 프레게의 논리학에 있어서, 값의 궤적에 대하여 가장 중요하고 기본적인 사실이다. 그는 이것이 ‘증명불가능하고’ 기본적인 논리학의법칙이라고 간주한다. 「기본 법칙」에서 이것은 공리(6)으로 나타난다.

우리는 이제, 함수값의 궤적을 표시할 방법을 필요로 한다. 만약 ‘f(x)’가 함수의 이름이면 ‘?f(ε)’가 그에 상응하는 함수값의 궤적의 이름이다. 만약 f(x,y)가 두 논항에 대한 함수이면, 그 함수값의 궤적은 ‘??f(ε,α)’라고 쓸 수 있다. ‘알파’나 ‘입실론’과 같은 그리이스어 모음은 항상 함수값 궤적의 이름을 형성하는데 사용된다.

개념은 함수의 특별한 경우이고, 이제 프레게는 개념의 외연이 함수값의 궤적으로 간주되어야 한다고 말한다. ([1891.b] p133, (31)) 하지만 함수의 궤적이란 무엇인가? 지금까지 우리는 모든 함수가 값의 궤적을 가지며 개념의 외연들이 값의 궤적이라는 것, 그리고 두 함수가 같은 논항에 대하여 같은 값을 가질 때 그 값의 궤적이 같다는 것을 알고 있다. 하지만 수의 동일성 조건에 대한 조항들이 수를 확정할 수 없듯이, 함수값의 궤적의 동일성 조건의 조항이 함수값 궤적이 어떤 대상들인지를 말해주지는 않는다.

이제 프레게는 수를 어떤 외연과 동일시하는 명시적 정의의 동일성 조건들을 보충함으로서 수의 정체성의 결정가능성을 피하려 한다. 하지만 이제 외연들이 함수값의 궤적으로 간주되는 것으로 보이며 우리는 이들 대상들을 아직 확정하지 않았다. 그래서 수의 비결정성 문제는 한 단계 물러나며, 해결되지는 않았다. 어려움을 피하는 한 방법은 함수값 궤적을 명시적으로 정의하는 것이며 아마도 어떤 종류의 집합으로 함수 f(ζ)의 값 궤적은 순서쌍 (x,y)의 집합으로 간주될 것이며, 여기서y는 x를 논항으로 취할 대의 값이다. 따라서 함수 의 값 궤적은 (1,1), (2,4), (3,9) 등등으로 이루어지는 순서쌍의 집합일 것이다. 한편 개념 ‘독일인임’의 값 궤적(외연)은 (프레게, 참), (나폴레옹, 거짓), (플라톤, 거짓) 등의 순서쌍 집합이 될 것이다. 함수값 궤적이 산술의 구성에서 필요불가결한 부분을 이루는 「기본 법칙」에서의 프레게의 절차는, 이것들이 오직 동일성 조건의 조항에 의해서만 결정되는 것은 아닌 것처럼 취급하는 것이다. 여기에는 두 가지 이유가 있어 보인다. 첫째, 값의 궤적을 집합으로 환원하는 것은 집합이 무엇인지를 어떻게 결정할 것인가 하는 추가적인 문제를 요구한다는 것이고, 둘재, 프레게는 집합들이 어떤 것들의 set 나 덩어리로 간주될 수 없다고 주장한다. 그것들은 그것들의 원소로 구성되지 않는다는 것이다. 어떤 것이 집합의 존재는 그 모든 원소가 그 아래에 속하는 개념의 존재에 의존한다. 달리 말하면 집합은 개념의 외연이다. 함수값 궤적이 집합에 의해 정의된다고 말하는 것은 분명히 순환적이다. 하지만 집합의 관념에 대한 우리 직관은 기본적인 것으로 보인다. 만약 값의 궤적이 더 근본적이라면, 그것의 본성에 대한 직관적인 설명을 제시하기는 근원적으로 어렵다.

「기본 법칙」에서 프레게는 이 문제에 대해 다음과 같은 전략을 선택한다. 결국, 값의 궤적이 무엇인지 알고자 원하는 이유는 무엇인가? 단순한 호기심 이상으로 그 이유는, 우리가 「기본 법칙」의 논리체계의 개발에서 중요한 어떤 속성들을 가지고 있는지를 알 필요가 있다는 것이다. 값의 궤적에 대해 우리에게 중요한 것은 우리가 원하는 논리적 수학적 결과를 우리가 증명할 수 있도록 해 주는 그 능력이다. 그래서, 값의 궤적에 대해 우리가 요구하는 정보는, 우리가 작업할 때 쓰는 논리체계에 의해 선가정되는 것들과의 결합에서 그것이 하는 역할과 관련된다.

특히 함수값 궤적들은 대상들이다. 그것들은 완벽한 개체들이고 그것들이 겷바하는 함수와는 다르다. 따라서 논리체계에서의 그 주된 역할은 함수의논항과 값들과 같다. 프레게 체계의 항목들이 서로 결합하는 유일한 방시근 논항이 함수에 적용되는 것이다. 따라서 결론: 값의 궤적에 대해 우리가 알고자하는 것은, 체게의 어떤 함수는 값의 궤적인 논항에 적용했을 대의 결과가 무엇인가? 원초적 함수의제한된 stock이 있고, 그 관점에서 체계의 다른 함수들이 정의되므로, 우리는 논항으로서 값의 궤적에 대해 원초적 함수가 취하는 값에 대한 고찰에 스스로 한정될 수밖에 없다. 이 논의 단게에서, 체계의 유일한 원초적 함수는 동일성 함수 x=y이며, 지금까지 도입된 유일한 대상들은 값의 궤적과 진리값 뿐이다. 그래서 물음은 모든 가능한 경우에 이 함수의 값을 결정하는 것이다. 다음과 같이 할 수 있다.

만약 두 논항 모두가 값의 궤적이라면, 공리(V)에 따라, ‘a=b’가 참일 필요충분조건은 결합된 함수들이 같은 변항에 대하여 같은 값을 가지는 것이고 그렇지 않다면 거짓이다. 만약 두 논항이 모두 진리값이면, ‘a=b’는 a와 b가 참이거나 모두 거짓일 때 참을 값으로 가지며 그 외의 경우에는 거짓이다. 그 밖의 경우에는 한 논항이 진리값이고 다른 논항은 값의 궤적일 때, 여기서 답은 그리 명확하지 않다. 만약 진리값들이 실제로 값 궤적이라면, 이 사례는 두 논항이 모두 값의 궤적인 경우로 환원되고 우리는 답을 얻는다.
매우 상상적인 논항의 도움으로, 프레게는 어던 다른 두 개의 값 궤적에 대해서도 참과 거짓을 마음대로 동일시할 수 있음을 보인다. 따라서 프레게는 “참임”의 개념의 함수값 궤적에 의해 참을 나타내고, “거짓임”의 개념의 값 궤적에 의해서 거짓을 나타낸다. 이제 체계에 지금까지 도입된 모든 대상은 값 궤적이며, 우리가 그의 형식체계에서 값 궤적 용어들을 어떻게 다룰 것인가는 결정적이다.

값 궤적의 본성에 대한 물음은 프레게의 일반적 철학적 외양(outlook)에서 심오한 함축들을 갖는다. 이것은 좀 후에 논의하겠다.

(v) 함수들의 계수들

지금까지 우리는 함수들이 대상들만을 논항으로 취한다고 가정했다. 그리고 프레게가 함수들이 모든 대상에 논항으로서 정의되어야 함을 요구한다는 것을 보았다. 하지만 어떤 함수들은 대상들을 논항으로 취하지 않는다. 그 대신 그 논항이 함수들이다. 함수들을 논항으로 취하는 함수들은 고계함수(higher level)이다. 프레게가 문장에서 일반성을 표시할 때 우리는 그런 함수에 대한 표현을 발견한다. ‘모든 a에 대해 P(a)’라는 문장을 고려하자. 여기서 볼 수 있는 하나의 부속 요소는 개념명(혹은 술어) 'P( )'이다. 만약 우리가 이 문장에서 이 개념명을 제거한다면 ‘모든 a에 대해 ( )a’라는 표현을 얻는다. 이것은 불완전한 항목의 이름인 불완전한 표현, 즉 함수이다. 이 함수의 논항은 무엇인가? 그것은 분명히 개념들이다. 현대적 용어에서 우리는 이것을 ‘보편 양화사’라고 부를 텐데, 이 함수는 모든 대상들이 개념 P 아래에 속할 때 개념 P를 참에 대응시키고 다른 경우에는 거짓에 대응시킨다. 따라서 P는 대상을 논항으로 하는 함수이고, 혹은 1계 함수이다. 보편 양화사는 1계 함수를 그 논항으로 하는 함수이고, 따라서 2계 함수가 된다.
중요한 것 하나는, 이 모든 함수의 값들은 대상이라는 것이다. 함수들은 그 계수를 막론하고 대상인 값들을 갖는다. 왜 그래야만 하는가? 함수의 논항들은 그 자체 본질적으로 불완전한 항목을 충족시키는 것들이다. 함수값이 생겨날 때 논항들이 함수를 충족시킨다는 것이다. 따라서 논항을 함수에 적용하면 그 값으로 대상이 생기며 그 자체 함수인 것은 생기지 않는다.
프레게 체계에서 3계 함수도 하나 나타난다. 이것은 대상에 관련해서가 아니라 1계 함수에 관련해서 보편성을 나타내는 함수이다. ‘x’와 ‘y’가 같은 대상들의 이름으로 대상의 변항들 ‘a’, ‘b’, ‘c’ 등을 가지고 있으며, 일반성 기호 안의 이 변항들을 대신하는 문자들 ‘α’, ‘β’ 등을 가지고 있음을 기억하자. 함수에 대해서도 같은 방식을 취할 수 있다. 함수명 f, g, h 등, 함수 변항 ‘φ’, ‘ψ’ 등이, 그리고 지금까지 도입되지 않은 것들, 즉 일반성 기호 안에서 함수 변항을 대치할 문자들이 있다. 여기서, 대상과 관련된 일반성의 경우에서처럼, 우리는 고딕 문자를 사용한다.

이제 논항으로서 한 변항을 가진 1계 함수를 논항으로 하는 2계 함수를 고려하자. 일반적으로 그런 함수를 다음과 같이 기호화한다.
Mβ(φ(β))
여기서 ‘φ’는 하나의 논항을 가진 1계 함수의 이름에 의해서 대치되는 변항이다. 그런 논항에 대해서, 한 대상을 함수값으로 가져야 하므로, 우리가 ‘φ’에 대입하는 모든 함수명에도 같이 가는 변항을 속박할 방법이 필요하다. 이것이 우리가 ‘β’를 2차 함수명 ‘M’에 아래 첨자로, 그리고 1계 함수의 논항이 오는 자리에 기입하는 이유이다. 변항 ‘φ’에 대해 함수명 ‘f(ξ)’를 대입하여, 그리고 변항 ‘ξ’를 묶어서, 우리는 거기에 빈틈이 없는 표현
Mβ(f(β))
를 얻는다. M이 항상 함수값으로 진리값을 갖는다고 ‘가정’하자. M은, 한 논항을 가진 1계 개념이 그 아래에 속하는 2계 개념이다. 그렇다면,
Mβ(f(β))
는 함수 f(ξ)가 개념 M 하에 속한다고 말한다. 이제 논항을 하나 가진 모든 1계 함수들이 M 아래에 속한다고 우리가 말하고 싶다고 가정하자. 우리는 ‘f’를 고딕 문자 f로 대치하고 일반성 기호를 도입한다.

이것이 말하는 바는 논항을 하나 가진 모든 1계 함수들이 개념 M에 속한다는 것이다. 만약 이 표현에서 2계 개념명 'M'을 제거하면 우리는 불완전한 표현,

을 얻으며, 이것은 3계 함수의 이름이다. 논항으로서의 어떤 2계 함수에 대해서도 이 함수는 논항 하나를 가진 모든 1계 함수가 그 아래에 속한다면, 참을 함수값으로 갖는다. 다른 경우에는 거짓을 갖는다. 여기서 1차 함수에 관한 일반성을 나타내는 3계 함수를 가지며, 이는 대상에 대한 일반성을 나타내는 2계 함수를 갖는 것과 같다.

대상들을 그 논항으로 갖는 함수는 함수들을 또한 취할 수는 없다. f(ξ)가 대상들을 논항으로 갖는다고 가정해 보자. 만약 우리가 논항 자리에 함수의 이름을 넣으려 한다면 우리는 ‘f(g( ))’ 형식의 이름을 얻을 것이며, 이것은 여전히 불완전한 표현이다. 따라서 이것은 함수 값의 이름이 될 수 없다. 2계 함수 “보편 양화”의 경우에 우리는 함수명 ‘f(ξ)’을 취하고 함수 표현 속의 빈 자리에 넣는데, 그것은 그 표현이 ‘f(ξ)’의 논항 자리를 그 구조 속으로 흡수하기 때문이다. 변항은 속박되게 되고 따라서 고딕 문자에 의해서 표시되게 된다. 프레게의 기호법에서 양화사는 다음과 같이 쓰여진다.

만약 우리가 함수 이름 ‘f( )’을 추가함으로서 이 표현을 채우게 되면 우리는 다음과 같은 표현에 도달한다.

이것은 완전한 표현이고 진리값을 명명한다.

2계 함수의 다른 예는 모든 1계 함수를 그 함수값 궤적으로 취하는 함수이다. 우리는 이것을 다음과 같은 방식으로 표시한다. 만약 f(x)가 함수이면 그 함수값의 궤적이 표현 ‘?f(ε)’에 의해서 표시된다는 것으르 기억하자. 이것은 대상의 이름이다. ‘φ’가 대상의 이름 대신에 함수의 이름에 의해서 대치될 수 있는 변항이라고 하자. 만약 표현 ‘?f(ε)’에서 우리가 함수 명 ‘f’를 변항 ‘φ’로 대치한다면 우리는 2계 함수의 이름을 얻는다. 이 함수의 논항으로서의 모든 1계 함수에 대해서 우리는 그에 상응하는 함수값 궤적을 값으로 얻는다.

우리가 여러 개의 논항들을 갖는 함수들을 고려하면 상황은 다소 복잡해 진다. 1계 함수들은 2나 혹은 그 이상의 논항들을 가질 수 있고, 그 각각은 대상이며 2계 함수들은 하나나 그 이상의 논항들을 갖는데 그 각각은 1계 함수이다. 하지만 2계 함수는 그 논항으로서 논항이 하나이거나 둘 등등인 1계 함수들을 취할 것이다. 우리는 그 변항들이 모두 같은 계수가 아닌 여러 변항들을 갖는 함수들을 고려할 수 있다. 어떤 함수는 2개의 논항 자리를 가지며 그 중 하나는 대사들에 의해서 채워지고 다른 하나는 논항이 하나인 1계 함수에 의해서 채워질 수 있다. 이런 방식으로 위계구조의 복잡성이 크게 분기한다. 하지만 우리가 요구하는 것은 함수의 표현으로부터 어떤 종류의 논항들이 그 논항 자리를 차지할 수 있는가 하는 것뿐이며 이 요구사항이 프레게의 체계에 의해서 만족된다.

<중략>

(vii) 개념의 역설

개념과 대상에 대한 프레게의 구분과 관련된, 많이 논의된 어려움이 있다. ‘말 개념의 역설’이라 알려진 어려움은 다음과 같이 나타난다.

술어 ‘f(ξ)’를 생각해 보자. 이것은 불완전한 표현이다. ‘ξ’은 함수의 논항자리르 나타낼 뿐이다. 이 술어는 개념의 이름이다. 따라서 다음과 같이 말할 수 있다.

(1) ‘f(ξ)’은 X의 이름

하지만 ‘f(ξ)’은 불완전한 이름이다. 만약 이것이 대상의 이름이었다면, 이 경우 술어가 아닐 것이다. 따라서 이것은 불오나전한 항목 즉 함수의 이름임에 틀림없다. 하지만 (1)의 ‘X’의 표현은 불완전핟. 그렇지 않다면 이것은 대상의 이름일 것이고 (1)은 ‘f(ξ)’가 대상의 이름임을 말하며, 이것은 의도된 바가 아니다. 따라서 (1)은 다음과 같이 쓰여야 한다.

(2) ‘f(ξ)’은 X(ξ)의 이름.

하지만 (2)는 문장이 아니다. 이것은 ‘X(ξ)’라는 표현을 포함한다. 채워지지 않은 논항 자리가 있고, 이것은 대상의 이름인 표현일 수 없다. 하지만 문장은 대상(즉, 진리값)의 이름이다.

더 분명한 것은 ‘개념 “말”은 개념의 이름이다’라는 것을 말할 수 없다는 것이다. 왜냐하면 ‘개념 “말”은 불완전한 표현이라기보다는 완전한 것이기 때문이다. 따라서 어떤 것의 이름이 아닌 대상이다.

프레게는 ‘개념 “말”’이 개념을 명명할 수 없다고 말한다. 왜냐하면 만약 그렇다면 그것은 ‘~은 말이다’라는 것이 명명하는 것과 같은 개념을 명명하는 것이기 때문이다. 우리가 곧 보게 되듯이, 같은 것을 명명하는 표현들이 서로 문장의 진리값을 바꾸지 않고 대치가능하다는 원리를 가지고 있다. 그래서 만약 ‘개념 “말”’과 ‘~이 말이다’가 같은 것의 이름들이라면, 이것들은 이 방식으로 상호대치 가능할텐데, 실제로는 그렇지 못하다. 왜냐하면 “데니스는 말이다”와 “데니스 말 개념”은 같은 진리치를 갖지 않으므로.
프레게는 이 난점을 ‘개념과 함수에 대하여’라는 논문에서 자세히 논의한다. 그의 생각은 이 난점이 언어에서의 치유불가능한 결점이라는 것이다. 어떤 것들은 말할 수 없다. 우리는 청자의 동감적 이해에 의존해야만 한다.

이 난점에 대한 설명은 별로 만족스럽지 못하다. 여기에 프레게의 언어 이론에 대한 난점이 있음이 분명핟. 이것은 언어 자체를 탓해서는 안될 듯하다. 개념의 지시체가 이런 종류의 난점을 포함함을 지시하는 언어 사용현상에서의 어떤 것은 없다. 만약 우리가 개념에 대해서 말하고자 하는 것을 말할 수 없다면, 우리가 서로 이해하는 듯 보이는 것은 어떻게 가능한가? 만약 우리가 화자가 말하고자 하는 것을 알고 그가 적절한 단어를 사용하지 않았음을 깨달으면 우리는 동정적일 수 있다. 하지만 우리가 그에 대해 적절한 용어를 찾는 것이 불가능한 것을 다루고 있다면 우리는 그가 말하고자 하는 것을 어떻게 아는가?

하지만 다른 곳에서 프레게는 이 문제에 대한 다른 방식으로 딴지를 건다. 사실 그는 방금 설명된 난점에 걸리지 않고서도 우리가 개념들을 지칭할 수 있다고 보이려 한다. 마이클 더밋이 이 해법을 취해서프레게에 대한 그의 책에서 상세히 논의한다. 프레게의 생각을 한번 보자.

“개념과 대상에 대하여” 얼마 후에 쓰여졌지만 그의 생전에...


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Gregory Currie(1982), 『Frege: An Introduction To His Philosophy』, The Harvester Press Limited.

번역: 파깨비

 

 

<영화로 읽는 윤리학>

 

 

 

 

 

 

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