파깨비의 철학자료실: 카르납의 33. 람다 연산자

Rudolf Carnap, "Introduction to Symbolic Logic and its Applications, Dover Publications(1958),

/[129쪽]----------------------------------------------

A장

33a.람다 연산자

“M”을 2계 1항 술어라고, 즉 개체들의 속성들의 속성들을 지시한다고 하자. 따라서 예를 들어 ‘M(P)’는 “1계 속성 P는 2계 속성 M을 갖는다”라는 뜻을 표시한다. (구체적인 예를 들자면, 우리는 서수(cardinal number), 예를 들어 5를 생각할 수 있다. 그러면 ‘5(P)’는 P가 서수 5를 가짐을 뜻한다. 물론 여기서 5는 속성들의 속성으로 간주된다.) 만약 우리가 문장 “”라는 문장으로 a를 서술하는 속성이 어떤 속성 M을 갖는다고 주장하고자 한다면 우리는 앞에서 도입한 기호를 활용하여 그렇게 할 수 있다. 왜냐하면 “”는 “”로도 쓸 수 있으며 위에서 명명된 명제는 “”로 형식화될 수도 있기 때문이다.

방금 우리가 “”와 관련해서 한 것은 “”와 같은 더욱 교묘한 문장 복합체에까지 확장될 수는 없다. 그 이유는 이 지점까지 가능한 기호체계는, 개별자들에 대한 매우 복합적인 문장들에 의해 개별자의 술어가 되는 속성들에 대한 어떤 술어 표현들도 제공하지 않기 때문이다. 예를 들어서, 문장 복합체 “”에 의해서 개별자 a의 술어가 되는 속성에 대한 어떤 술어 표현도 없다. 지금 도입되는 연산 기호 ‘’는 언어 C에서의 어떤 문장에 의해서 개별자에 속하는 어떤 속성에 대해서라도 술어 표현을 형식화하고자 하는 특정한 역할을 하게 될 것이다. 따라서 다음에서 문장 “”에 의해서 개별자 a를 기술하는 속성은 술어 표현 “”에 의해서 지칭될 것이다.

“” 형식의 표현은 람다 표현이라고 불린다. 람다 표현 “”에서 “”라고 씌어진 부분은 우리가 람다 연산자라고 부르는 연산자이다. 그리고 “”라고 씌어진 부분은 람다 연산자의 피연산항(operand)이다. 그러므로 “”에서 ‘x'가 속박되어 있음에 주의하라. 만약 “”가 문장 식이라면, “”는 말하자면, “와 같은 x의 속성”이라는 구어적 표현, 혹은 “와 같은 그런 x의 집합”이라는 구어 표현에 상응한다. 그리고 전체 표현 “”는 개별자 a가 속성 를 가지고 있음을 주장하는 문장이다.

‘’와 같은 ’람다 표현의 사용은, 만약 그 목적이 단지 b와 같은 어떤 개별자에 그것이 지칭하는 속성을 부가하는 것일 뿐이라면, 지나친 것이 될 것이다. 왜냐하면 이것은 단지 문장 ‘’를 가지고도 할 수 있으며 더 복잡한 식 ‘’은 없어도 되기 때문이다. 즉 두 식은 같은 것을 의미한다. 그러므로 우리의 구문론적 체계 B는 방금 언급된 두 문장들이 서로로부터 도출될 수 있도록 하는 원초적 문장 도식들을 포함한다. 즉 말하자면, 우리는 B에서 이전 기호법에서의 문장이 람다 표현의 완전한 문장과 동의어임을 알 수 있다. 하지만 기존의 기호체계는 람다 표현 자체와 동의적인 어떤 표현도 제공하지 못한다. 따라서 새로운 람다 표현은, 람다 표현에 의해서 지칭되는 속성에 2계 속성을 부가하고자 할 때 매우 유용하다. 왜냐하면 이 경우에 람다 표현은 2계 술어 표현의 논항-표현으로서 기능할 수 있기 때문이다.

위에서 나타나는 람다 특정한 표현은 1항 술어 표현이다. 유사한 방식으로 여러 변항들을 가진 람다 연산자가 여러 항 술어 표현을 구축하기 위해서 사용될 수 있다. 예를 들어서, “” 형식의 람다 표현은 그 피연산항이 “…x…y…” 두 개의 열린 변항들 ‘x'와 'y'가 있는 문장 식이며, 이것들이 피연산항에 형식화된 조건을 만족하는 경우에만 두 개별자들 사이에 존재하는 관계를 지시하는 2항 술어 표현으로서 인식되어야 한다. 2개 이상의 논항 자리를 가지고 있고 임의적인 유형인 람다 술어 표현들의 형식화는 유사한 방식으로 수행된다. 변항은 한번 이상의 람다 연산자에서 발생해선은 안된다.

이론적으로 매우 중요하지만, 람다 표현들은 언어 C에서 상대적으로 거의 사용되지 않는다. 그 이유는 언어 C에서 다른 형식의 표현들(즉, 연산기호들)이 술어 표현들의 구축에 가용하기 때문이다. 예를 들어서 “”에 의해 기술되는 술어 속성은 “”로 지시될 수 있는데, 따라서 이 경우에 덜 축약적인 람다 표현인 “”는 회피될 수 있다. 다시, 논의가 특정한 연관에서의 특정한 속성에 대한 반복된 지시를 포함하는 일이 자주 발생한다. 이런 경우에 속성에 대한 단순한 술어를 도입하는 것이 좋을지 모른다. 따라서 우리의 최종 예로 돌아오면, 우리는 말하자면 “”라는 정의를 통해서 Q를 도입하고 그 다음에, 이 속성에 대해 고찰하는 명제를 “”로 제시하는 것이다. 일반적으로 말하자면, 람다 표현들은 고찰되는 속성들에 대한 술어들을 정의하는 것에나 혹은 이러한 속성들을 복합적 술어 표현들로 지시하는 것을 허용하는 함수기호들을 정의하는 것에서나 모두 장점이 없을 때에만 쓸만하다.

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