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더글러스 호프스태터,어니스트 네이글,제임스 뉴먼 공저/고중숙,곽강제 공역(2010), <괴델의 증명> 도서출판 승산 13-15쪽 일부 발췌
괴델의 업적 - 아주 간단한 설명
괴델의 업적은 대체 무엇에 관한 것인가? 그것은 다음과 같다.
괴델 당시의 수학계는 수학을 "형식적 연역 체계"로 구성하기 위해 열심히 노력해야 한다는 분위기에 휩싸여 있었다. 당시 수학자들은 수학적 사고가 순수한 기호 조작의 규칙들에 의해 포착될 수 있다고 확신하였다. 수학자들은 일련의 명확한 공리와 일련의 명확한 표기 규칙을 설정한 다음에 그로부터 기호글을 조직하여 "정리"라고 불리는 새로운 기호 두름을 만들어낼 수 있었다. 수학계의 이 운동은 버트런트 러셀과 알프레드 화이트헤드가 지은 <수학원리>(Principia Mathematica)라는 세 권으로 된 기념비적인 저서에 이르러 절정을 이루게 되는데, 이 책은 1910년부터 1913년에 걸쳐 출판되었다. 러셀과 화이트헤드는 수학의 모든 분야를 '순수 논리학'(pure logic)의 토대 위에 세웠다고 믿었으며, 더 나아가 그들의 저작이 앞으로 수학의 모든 분야의 튼튼한 토대로 영원히 사용될 것이라고 믿었다.
하지만 20년 후에 괴델은 <수학 원리> 속의 지극히 엄밀한 기호들의 패턴이 실은 수 패턴과 똑같다는 것을 파악했다. 괴델은 실제로 모든 기호를 수로 대치할 수 있었고, 그래서 <수학 원리>의 모든 작업은 "기호 조작"이 아니라 "수치 처리"라고 바꾸어 이해할 수 있었다. 이 새로운 이해방식은 원래 <수학 원리>의 주제가 수(number)였고, 괴델이 <수학 원리>에서 사용되었던 매개 수단까지도 수로 바꾸었기 때문에, <수학 원리>는 제 자신을 주제로 삼고 있다는 사실, 달리 말하면 러셀과 화이트헤드의 체계 속에서 만들어진 형식문들이 서로 상대방에 관해서 말할 뿐만 아니라 제 자신에 관해서도 말하는 것으로 간주할 수 있다는 사실을 증명할 수 있었다. (괴델의 불완전성 정리 증명을 기술적으로 이해하기 위해서는 이 대목이 중요함:- 파깨비)
괴델은 <수학 원리>의 논리적 요새를 공격해서 그 요새를 무너뜨려 폐허로 만들어버린 것이다. 괴델은 또한 자신의 방법이 <수학 원리>의 목표를 달성하려고 시도하는 체계라면 어느 체계에나 적용된다는 것도 증명하였다. 그래서 결과적으로 괴델은 수학적 사고가 엄격한 공리적 체계에 의해서 포착될
수 있다고 믿었던 사람들의 희망을 파괴하였다. 이것을 다르게 설명하면 다음과 같다.
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<철학, 지식이 아닌 지혜> |
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