Hans D.Sluga(1980)의 GOTTLOB FREGE, Routledge & Kegan Paul.
85-87.


5. 함수에 대한 Frege의 논리적 개념

 

 

 

 

 

주어-술어의 구분 대신에 프레게는 함수와 논항의 구분을 도입한다. “여기에서 나는 수학적 공식의 언어의 예를 따르고자 하며 여기에서 사람들은 주어와 술어의 구분을 하고자 한다면 그것은 침해를 하는 것이 될 것이다.”(BS, p.3) 여기서 채택된 함수의 관념은 수학적 분석에 그 기원을 두고 있지만 프레게는 이것을 자신의 논리학적 목적을 위하여 일반화한다. 그는 판단에 대한 그의 새로운 설명이 영구적인 가치가 있는 것으로 증명될 것이라고 기대했는데, 왜냐하면, 그가 말하듯이, “우리가 논항의 함수로서의 내용에 대한 관점이 어떻게 새로운 개념들의 형성으로 이어지는지를 쉽게 인지할 수 있기 때문”이다. 아마도, 명제 분석을 위한 보다 유연한 도구가 우리에게 주어진다면 그럴 것이다. 전통적인 설명은 모든 문장을 주어에 어떤 것을 귀속시키는 것으로 이해한다. 프레게의 새로운 설명은 개별 대상들에 속성들을 귀속시키는 명제들을 취급하며, 여기에서 n 항짜리 함수는 n 개의 논항들에 적용된다. 주어 술어 명제는 하나의 논항을 가진 단항짜리 함수를 포함한다. 두 대상들 간의 관계를 표현하는 명제는 2항짜리 함수와 함께 2 개의 논항들을 포함한다. 술어의 논리와 관계의 논리가 하나의 방식으로 통합되는 것이다. 함수-논항 구분은 명제들에 대한 우리의 분석을 다른 방식으로도 더욱 유연하게 만든다. 동일한 명제 는 어떤 때에는 논항 a를 가진 함수로서 간주될 수 있고 다른 경우에는 논항 b를 가진 함수로 간주될 수도 있으며, 또 다른 경우에는 논항 a와 b를 모두 가진 함수로서 간주될 수도 있다. 그리고 다시, 만약 가 일반적으로 a의 함수로서 간주된다면 우리는 또한 다른 경우에 그것을 를 논항으로 갖는 함수라고 볼 수도 있다. 그리고 함수-논항 설명이 새로운 개념들에 제기하는 가장 중요한 방식은 일반적 명제들에 대한 설명의 토대로서이다.

프레게 시대의 수학적 용법에서 ‘함수’와 ‘논항’이라는 용어들은 수학 식들 내에서의 어떤 종류의 표현들을 가리킨다. 오일러의 고전적인 정의에 따르면 ‘어떤 변량의 함수는 변량과 항상적 수들(상수) 혹은 항상적 양들이 어떤 특정 방식으로 조합되는 분석적 표현이다.’ 이러한 특징묘사는 함수가, 어떤 표현이 나타내는 것이라기보다는 어떤 표현이라고 간주되는 것을 보여주며, 또한 이러한 사고방식은 함수가 또한 숫자들이나 양들로 구성된다고 말해지기도 했으므로 완벽히 일관적으로 수행되기는 어려웠다. 그렇다면 프레게 시대의 수학적 용법에서 그 구문론적 의미와 의미론적 의미라고 불려질만한 것들 간의 용어 사용에서 특정한 혼선이 있다.

Begriffsschrift에서 프레게는 이러한 엄밀하지 못한 수학적 용법을 완전히 따르고 있다. 그가 함수와 논항의 구분을 도입할 때 그는 그것이 구문론적 의미에서 그러함을 분명히하고 있다. 함수들과 논항들은 그에게 있어서 문장들의 부분들이다. 이 구분은 “개념적인 내용들과 아무런 관련이 없다. 즉 그것은 우리가 표현을 어떤 특정 방식으로 바라보기 때문에 오는 것이다.” 순수히 구문론적으로 주어진 형식적 특징묘사:

만약 어떤 표현에서 단순하거나 복잡한 기호가 하나 이상의 장소에서 나타난다면 그리고 우리가 그것을 이러한 하나 이상의 자리들에서 어떤 것으로, 하지만 모든 곳에서 같은 것으로, 대체가능한 것으로 간주한다면, 우리는 여기서 변화불가능한 것으로 나타나는 표현의 부분을 함수라고 부르고, 대체가능한 부분을 논항이라고 부른다.

이러한 용법은 ‘함수’와 ‘논항’이란 용어들에 대한 프레게의 나중의 용법과 다른데, 왜냐하면 나중부터 이것들이 어떤 종류의 표현들의 지시체로 간주되기 때문이다. 그가 앞에서 ‘함수들’이라고 불렀던 것은 ‘함수적 표현들’이라고 불리게 되고, 그가 ‘논항들’이라고 불렀던 것은 ‘논항 기호들’이 된다.

이 구분에 대한 프레게의 용법은 급진적으로 더 넓은 영역의 응용범위를 갖는다는 점에서 수학적인 용법 이상으로 나아간다. 그에게 있어서 함수들은 단지 계산하는 표현들일 뿐만 아니라 수적인 동일성, 개념들, 그리고 관계들을 표현하는 데에도 사용된다. 해석가들은 때때로, 함수로 개념들과 관계들을 동일시하는 것은프레게의 이론에 나중에 추가된 것이며 선언적 문장들(declarative sentences)이 진리값들의 이름들이라는 의미론적 교리에서 도출된다는 입장을 견지한다. 하지만 이것은 확실히 착오이며 Begriffsschrifts 집필기 이전부터 지속된 프레게의 생각에서 함수의 관념이 갖는 중심적인 논리적 역할을 완전히 훼손하는 것이다. 1891년경에 변화하는 것은 개념들과 관계들이 왜 함수들인지에 대한 설명이며, 그 동일시 자체는 아니다.

프레게가 처음부터 단지 구문론적인 것으로서 고려하는 표현들에서의 함수와 논항의 구분은 특정 조건 하에서 의미론적 중요성을 얻는다. 이 때문에 프레게는 또한 “내용(content)을 논항의 함수로서” 본다고 가끔씩 스스로 말하곤 하였다.
시작할 구분은 고정된 것으로서 간주되는 표현의 부분과 변할 수 있다고 가정되는 표현의 부분 간의 구분이다. 함수와 논항이 ‘사실상’ 특정 문장에서 결정적(determinate)인 한, 그 구분은 순수히 구문론적인 것으로 남게 되며 논리적인 중요성을 갖지 않는다고 주장했다.

하지만 논항이, “당신은 '네 제곱수의 함으로 표시가능하다'라는 것에 대한 논항으로서 어떤 임의의 양수 전체를 취할 수 있으며 이 문장은 항상 옳을 것이다”와 같은 판단에서처럼 비결정적이 되면, 함수와 논항의 구분은 그 내용에 대한 중요성을 획득한다. … 결정적인 것과 비결정적인 것 간의 구분을 통해서, … 그 전체는 함수와 논항으로 구분되면 이것은 우리가 그것을 그런 식으로 보기 때문만이 아니라, 실제로 그 내용상 그러하기 때문이기도 하다.

복합적인 표현에서 우리는 논항을 문자로 대치할 수 있으며 그럼으로써 그것의 비결정성을 지적할 수 있다. 만약 원래의 표현이 문장이라면 우리는 이제 그 문자의 적절한 대치를 통해서 다른 문장들의 열 속으로 변형될 수 있는 문장 형태를 갖게 된다.


 

 

 

<철학, 지식이 아닌 지혜>

 

 

 

 

 

 

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