II-3.3. 양화 시제 논리와 계량 시제 논리

1차 술어적 의미론의 관점은 프라이어의 또 다른 시제 논리 체계들에서 더욱 분명해진다. 그것은 필자가 “양화 시제 논리체계 ��_Q”와 “계량 시제 논리인 ��_M”라고 부를 프라이어의 시제 논리 체계들에서 그러하다. 먼저 그 체계들을 정리해서 제시하자면 다음과 같다.

<양화 시제 논리체계 ��_Q>

양화 시제 논리체계 ��_Q의 대표적인 예는 프라이어[1968]가 제시한다. ��_Q는 원초적 술어들로 , , 를 추가적으로 도입하고 시점들의 선후관계 이론을 결합한 시제 논리의 체계이다. , , 의 의미는 다음과 같다.

 : “시점 는 보다 이전이다”,

 : “시점 는 와 동일하다”,

 : “시점 에서 라는 일이 있다”

��_Q에서의 시제 논리적 식들의 진리값들에 관련해서 다음의 공준들이 뒤따른다.(Prior[1968], 99쪽) 

(TqU1)

(TqU2)

(TqU3)

(TqU4)

여기에서 (TqU3)과 (TqU4)에 기초해서 양화이론을 활용하여 ��_B에서의 연산자 와 에 대해서도 다음과 같이 정의할 수 있다.

(BQ1)

(BQ2)

<계량 시제 논리인 ��_M>

한편 계량 시제 논리인 ��_M은 구문론적 변형과 몇 개의 공리들을 통해서 시간적 양을 표시하고 이에 따라서 새로운 공리나 추론규칙을 산출하는 체계이다(Prior[1968], 89-93쪽). 시제 논리에서 “계량”(metric), 혹은 “계량적”(metrical)이라는 용어는 구문론의 한 항이 시간적 양 혹은 시간적 거리를 나타내는 시제 논리 체계를 가리키는 수식어이다.²⁴⁾ 

이에 따라 ��_M의 중요한 구문론적 특징은 시제 연산자 와 의 뒤에 시간 양(혹은 시간 거리)의 변항 과 바른식 가 같이 뒤따름으로써 바른식이 이루어진다는 것이다. 따라서 와 형식의 문장들이 ��_M에 속하게 된다. 또한 ��_M에서의 U-연산은 비계량적 대신에 을 사용하며 이것은 “는 보다 간격만큼 이전이다”를 나타낸다. 혼란의 우려가 있을 경우에 ��_B나 ��_Q의 시제 연산자들과 ��_M의 시제 연산자들을 구분하기 위하여 각 연산자에 그에 뒤따르는 항 수를 나타내는 위 첨자를 더하여 ‘', '', ‘’, 그리고 ‘’로 표기하도록 할 것이다. 또한 ��_Q와 ��_M에서의 U-연산의 술어 역시 혼란이 우려될 경우 ‘’와 ‘’으로 구분해서 표시할 수 있다.

��_M의 U-연산이 달라짐에 따라서 ��_Q의 (TqU3)과 (TqU4)는 다음의 (MU3)과 (MU4)로 대치된다.

(MU3)

(MU4)

��_M에서의 U-연산은 변항들에 도입되는 수 체계에 따라서 다른 공준들의 체계를 필요로 할 것이다. 도입되는 수 체계가 정수들이면 연산은 이산적인 시간에 적합할 것이고 숫자들이 유리수이면 조밀한 시간에 적합할 것이며 실수들이 도입되면 연속적인 시간에 적합할 것이다. 도입되는 산술이론은 기호들에 있어서는 “”과 “”의 형식들이면 충분할 것이다.(Prior[1968], 89쪽)

프라이어[1968]는 또한 시간간격들에 대한 양화에 관계된 새로운 공준으로서 다음의 (MU5)를 도입한다.

(MU5)

(MU5)는 에 계량 시제 논리의 어떤 식이 대입되더라도 성립하는 무한 공리들을 포괄하는 도식이다. 또한 이 시간 간격 에 더해진다고 간주되면 그것들이 시간열 속에서 연속적인(contiguous)인 것임을 분명하게 하는 공준이 필요하게 된다. 즉 우리에게 필요한 것은 다음이다.

(MU6)

이 공준들은 가 앞에 붙었을 때, 다음의 계량적 시제 논리에 대한 공준들로부터 도출되는 모든 문장들을 산출하기에 충분하다. 이 때 명제적 연산, 양화 이론(시간 변항들을 속박하는 양화사들을 가진), 그리고 정수, 유리수, 그리고 실수들에 공통되는 양수 이론의 다음 부분들이 결합되어야 한다.

(A1.1)    (A1.2)

(A2.1)                (A2.2)

(A3.1)      (A3.2)

(A4.1)      (A4.2)

(A5.1)          (A5.2)

체계들 ��_Q와 ��_M에서 특징적인 것은 다음과 같다.

첫째, ��_M의 문장들로 프라이어의 모든 시제논리와 양상 논리 체계들이 기술될 수 있다. 둘째, 두 체계들에서 구문론적 문법이 1차 술어적이다. 셋째, 이 체계들의 문법은 명제 양상 논리의 의미론을 기술하는 메타언어의 문법과 일치한다. 그 세부적인 내용을 살펴보도록 하겠다.

첫째, ��_M의 문장들로 프라이어의 모든 시제논리와 양상 논리 체계들이 기술될 수 있다. 더 나아가서 ��_B와의 바른식들은 어느 것이든 ��_Q의 바른식으로 번역될 수 있고 다시 ��_Q의 바른식은 모두 ��_M의 바른식으로 번역될 수 있다. 따라서 ��_B와의 바른식들은 모두 ��_M의 바른식으로 번역될 수도 있다. 하지만 그 각각의 역은 성립하지 않는다.

이것을 보이기 위해서 먼저 , 즉 ��_B의 모든 공리들과 바른식이 ��_Q의 바른 식으로 번역될 수 있음을 생각해 보자. ��_B의 형성 규칙은 다음과 같이 정의될 수 있다.

(TBF1) 명제 문자 는 바른식이다.

(TBF2) 와 가 바른식이면 와 도 바른식이다.

(TBF1) 가 바른식이면 와 도 바른식이다.

��_B의 모든 바른식을 ��_Q의 바른식으로 번역하는 절차는 다음과 같이 기술될 수 있다.

(TrBQ1) 가 명제문자이면 이 문장을 로 번역한다.

(TrBQ2) 가 이면 로 번역하고, 가 이면, 로 번역한다. (TqU1)에 의해서 는 다시 로 번역된다.)

(TrBQ3) 가 이면 로 바꾸고, 가 이면 로 바꾼다.

이상의 절차들을 반복함으로써 ��_B의 모든 바른식을 ��_Q의 바른식으로 번역할 수 있다. 예를 들어 ��_B의 공리들 중 세 개를 ��_Q의 문장으로 번역해 보면 다음과 같다.

(PC1)

(Kt4)

(Kt6)

��_Q의 바른식은 다시 ��_M의 바른식으로 번역될 수 있다. ��_Q의 바른식의 형성규칙은 다음과 같이 정의될 수 있다.

(TqCh1) 원자문장은 바른식인데, 는 다음의 세 경우 중 하나이다. 가 명제문자이고 와 가 시점을 나타내는 항일 때 i) , ii) , iii) 이다.

(TqCh2) 와 가 바른식이면 와 도 바른식이다.

(TqCh1) 가 바른식이고 가 시점을 나타내는 항이면 는 바른식이다.

이렇게 형성된 바른식들의 집합에 대해서 ��_Q의 “1차 술어(first-order) 식들의 집합” ��(��_Q)라 하겠다. ��(��_Q)의 원소인 문장들에서 와 , 그리고 의 기호를 관례적인 방식으로 도입하고 그 원소들을 (TqU1)-(TqU4)의 공준들, 그리고 (BQ1)과 (BQ2)에 의해서 ��_Q의 모든 바른식들의 집합으로 바뀔 수 있다. 여기에는 시제 연산자 와 , 와 라는 시제 연산자들이 나타난다.

그러므로 우리는 ��(��_Q)의 원소들을 모두 ��_M의 문장으로 번역할 수 있다면 ��_Q이 ��_M으로 번역될 수 있게 된다. 그런데 ��(��_Q)의 원소들을 ��_M으로 번역하는 것은 쉽다. 왜냐하면 ��(��_Q)의 원소들을 구성하는 원초적 술어 중 하나만을 으로 바꿔주면 되기 때문이다. 이렇게 형성된 문장들의 집합을 ��(��_M)라 하겠다. ��(��_M)에도 역시 와 , 그리고 의 기호를 관례적인 방식으로 도입하고 (TqU1)-(TqU2), (MU3)-(MU6) 등을 더하여 ��_M의 바른식 전체의 집합으로 확장할 수 있다.

둘째, 체계들 ��_Q와 ��_M이 구문론적으로 1차 술어적 문법을 사용한다는 것은 쉽게 관찰될 수 있다. 앞에서 보았듯이 프라이어의 모든 체계는 ��(��_M)의 문장으로 번역될 수 있다. 그런데 ��(��_M)는 몇 개의 원초적 술어들만을 가진 2열(two-sorted) 1차 술어 논리의 이론이다.

먼저 ��(��_M)의 논리적 상항들은 , , 그리고 이다. (, , 등은 정의에 의해서 도입된다.) 비논리적 상항들은 원초적 술어들 , , 세 개다. 그리고 의미론적 모형은 <��, ℕ, ��, >인데 여기서 ��는 시점들의 집합이고 ��는 명제들의 집합이다. 이 때 세 술어들에 대한 외연할당은 다음과 같이 정의된다.

{<, >| ��이고 ��}

��²ℕ의 부분집합,

��²의 부분집합��²의 부분집합.

그런데 이런 3열 1차 술어 논리는 원초적 1항 술어를 적절히 더한 1열(one-sorted) 1차 술어 언어로 환원될 수 있음은 잘 알려져 있다.(Enderton[1972], Ch.4.3) 그러므로 결국, 프라이어의 모든 시제 논리 체계는 1차 술어 언어로 정의될 수 있다. 더불어서 프라이어의 양상 논리 체계들 <PS4>와 <PS5>도 1차 술어 언어로 정의될 수 있다. 그리고 이것은 시제 논리와 양상 논리에 대한 매우 흥미로운 측면을 보여주는데, 그것은 명제 시제 논리와 명제 양상 논리가 1차 술어 논리의 하부 언어일 수 있다는 것을 함축하기 때문이다.

셋째, 이상의 체계들의 문법은 명제 양상 논리의 의미론을 기술하는 메타언어의 문법과 일치한다. 예를 들어 시제 연산자 에 대해서 다음과 같이 ��(��_Q)의 식으로 정의해 보면 다음과 같다.

이것을 (ss4)나 (fsd4)와 비교해 보면 시제 논리의 의미론에서 메타언어의 술어 은 에, 그리고 는 에 대응됨을 알 수 있다.²⁵⁾ 양상 연산자에 대해서도 유사하게 말할 수 있다. <PS4>에서의 ◇에 대해서는 다음과 같이 ��(��_Q)의 식으로 정의할 수 있을 것이다.

이 때 는 “가 와 동시이거나 이전이다”를, 는 “에서 가 참이다”를 각각 의미한다. 그리고 이와 유사한 방식으로, 즉 <S5>에 해당하는 체계 <PS5>를 구성할 수 있을 것이다.²⁶⁾

그 중에서 필자가 볼 때 세 번째 함축은 현재의 양상 논리체계 전반을 (보다 비판적인) 다른 관점에서 보도록 하는 계기를 제공한다는 점에서도 의미가 있다고 본다. 즉 양상 논리 전체가 양상 연산자를 사용하는 내포적 구문론을 사용하는 것이 아니라 의미론의 구조를 직접 반영하는 외연적 구문론을 사용하는 것이 가능할 수도 있다는 관점이다.

이상의 고찰을 통해서 볼 때 프라이어는 시제 논리와 양상 논리의 여러 체계들에서 명제를 의미론적으로 1차 술어적 대상으로서 취급했던 것으로 보인다.