II-3.2. 프라이어의 양상 논리 체계들

<프라이어의 <S4>: <PS4>>

프라이어[1957]는 시제 논리에 기초해서 <S4>체계를 다음과 같이 정의한다. 필자는 편의상 이 체계를 ‘프라이어의’ <S4>체계라는 의미로 <PS4> 체계로 호칭하겠다. 프라이어는 루카치비츠의 양상체계와 루이스의 <S4> 체계와 자신의 시제 논리 체계가 형식적으로 동일한 체계임을 주장한다.

나는 이제 내가 설명한 시제 논리가 일종의 양상체계이며, 그래서 우리가 ◇(혹은 “가능적으로”)를 “…라는 일이 있거나 있을 것이다”로, 그리고 □(혹은 “필연적으로”)를 “…라는 일이 있거나 항상 있을 것이다”로 정의한다면 이러한 연산자들은 양상 연산자들이 되기 위한 루카치비츠의 조건들을 충족시킬 것이고, 더 나아가서, 루이스의 <S4> 체계의 ◇과 □의 형식적 속성들 모두를 갖게 될 것임을 보이겠다.(Prior[1957], 12쪽)

이를 위한 기본 아이디어는, 미래시제 연산자인 연산자를 포함하는 부분만을 사용하고, 또한 의 특별한 경우로서 를 허용하는데, 이 때 는 “지금 이후로 어떤 시간 단위 이후도 아닌 때(즉, 지금)에 라는 일이 있을 것이다”를 의미하며 단순한 와 동등한 의미를 갖는다는 것이다.

<PS4>에서의 양상연산자 □와 ◇에 대한 정의는 다음과 같다.

□ :

◇ :

<PS4>의 공리들은 고전적 명제 연산의 공리들의 완전한 집합에 다음이 추가되어 구성된다.

(PS4.1)

(PS4.2)

(PS4.3)

(PS4.4)

(PS4.5)

(PS4.6)

공리 PS4.5는 ‘지금으로부터 일 이후에, 일 이후에 라는 일이 있을 것’임을 의미한다. 이 체계에서 □과 ◇는 디오도루스적(Diodoran) 연산자들로서 “…이고 항상 …일 것이다”를 의미한다. “이다(is)"의 사례는 로서 일반형식 에 포함된다. 추론 규칙들은 일반적인 양화논리의 규칙들, 즉 대입(substitution), 제거(detachment), 양화사 도입을 위한 규칙들이 포함되고 다음과 같은 특수 규칙 RF가 추가된다.

RF: 만약 가 논리학의 법칙(타당한 식, law)이면, 도 그러하다.

프라이어가 <PS4> 체계를 제시한 까닭은 양상을 바라보는 프라이어의 관점 때문인데, 그 관점을 구성하는 중요한 요소는 두 가지이다. 첫째는 폰라이트에서 이어받은, 시제 연산자가 유사(quasi) 양상 연산자라는 입장이다. 때문에 프라이어[1957]는 시제 논리를 기초로 해서 <S4> 체계뿐만 아니라 <S5> 체계도 구성한다. 둘째는 역사적으로 양상을 시제로 이해하는 전통적인 방식과 연관되어 있다. 즉 “양상 논리에 대한 프라이어 자신의 관심은 고대에 대한 그의 연구에서 주로 생겨난다.”(Copeland[1996]) 그 출발점은 흔히 메가라학파의 디오도루스(Diodorus)로 일컬어지는데, 그 사고방식에 따르면 가능한 것을 현재 그러하거나 앞으로 그러할 것으로 이해하고 필연적인 것을 현재도 그러하고 앞으로도 항상 그러할 것으로 이해한다. 이것은 다음과 같이 양상 연산자들에 대한 디오도루스 정의들로 이어진다.(McArthur[1976], 42쪽)

(Dla)

(Dlb) ²³⁾

프라이어[1957] 자신도 메가라학파의 논리학자인 디오도루스(Diodorus)가 “가능적으로”와 “필연적으로”의 양상개념을 이런 의미로 사용하였다고 언급한다. 또한 디오도루스의 양상 논리와 루이스의 <S4> 체계가 형식적으로 동일한 체계임을 증명하고자 하였다.

의미론적 관점에서 <PS4>에서 주목할 만한 것은 시제 연산자 가 시점 과 명제 의 2항 연산자라는 점이다. 과 에 할당되는 의미론적 대상을 각각 와 라고 하면, 이 때 만약 가 시점(혹은 가능세계)들의 집합이라고 가정할 경우 의 의미론적 기능을 설정하기 곤란하게 된다. 왜 그런가? <PS4>에서 의 의미는 “에서 가 성립할 것이다”임은 어렵지 않게 알 수 있다. 그렇다면 와 와의 관계에 미래 시제가 포함되어 있는 것이다. 이 미래 시제는 다시 의미론적으로 형식화되어야 하며 그 방식은 “지금()보다 나중인 에서 가 성립한다”일 것이다. 여기서 는 가 기술하는 내용의 일부일 수 있을지는 몰라도 전부는 아니다. 즉 가 기술하는 2항 관계는 도 아니고 도 아니다. 따라서 가 기술하는 와 의 관계는 시점 와 시점들의 집합으로서의 의 관계가 아니다. 는 와 양자를 1차 술어적 대상으로서 논항으로 취하고 있는 것이다.

이렇게 명제를 1차 술어적 대상으로서 취하는 관점은 기본 시제 논리 ��_B의 의미론 구성의 근거가 될 수도 있고 또한 프라이어가 양화 시제 논리나 계량 시제 논리를 구성하는 기본 아이디어이기도 하다. 그 내용을 살펴보자.