파깨비의 박사논문

II-1.3. 카르납의 양화 양상 논리 체계 이해

카르납의 양화양상논리체계(CQML)는 그 기본 사고방식(conception)에서 CPML과 거의 동일하게 접근할 수 있다. 하지만 CQML에서 카르납의 프레게적 전통이 부각된다. 즉 문장에 대한 해석이 자유변항에 할당하는 것을 개별 개념이라고 이해하는 것이다. 따라서 CQML에서 변항들의 값은 개별 개념들이다.

카르납([1947], 183쪽)은 개념이 “개별 상항들을 사태기술들에 할당하는 것”(an assignment of individual constants to state-descriptions)으로 나타내어진다고 말한다. 이 표현을 정확히 이해하기 위해서 에 할당되는 개념을 라 하고, 개별 상항을 , 사태기술을 ��라 해 보자. 이 때 카르납의 생각은 다음의 두 방식 중 하나로 이해해야 할 것이다. 즉 (i) 이거나 (ii) 인 것이다.

(i)의 경우 에 가 할당된다. 그렇다면 에는 최종적으로 사태기술 가 할당되는 셈이 된다. 이것은 받아들이기 어려워 보인다. 그렇다면 카르납의 생각은 (ii)와 같이 로 이해되어야 할 것으로 보인다. 이럴 경우 에 할당되는 것은 이고, 이것은 곧 사태기술 에서 에 할당되는 것이 개별상항 인 것을 기술하게 될 것이다. 이것은 다음과 같은 카르납([1947], 183쪽)의 설명을 볼 때 확인될 수 있다.

a. 가 원자 식이라고 하자. 에서 나타나는 개별 변항들에 주어진 값에 대해서 가 에서 성립할 경우 그 경우에만, 모든 자유변항에 대하여 변항의 값으로 에 할당된 상항을 대치함으로써 로부터 형성된 원자 문장을 가 포함한다.

예를 들어서 설명하자면 인 경우를 생각해 볼 수 있다. 개념 에 의해 사태기술 에서 에 대해 할당된 개별상항이 이고 사태기술 에서 에 할당된 개별상항은 라고 하자. 그러면 가 에서 성립하는 경우 그 경우에만, 는 S에 속한다. 또한 가 에서 성립하는 경우 그 경우에만, 는 에 속한다.

그렇다면 다음에 제기될 수 있는 문제는 과 같은 술어에는 무엇이 할당되는가 하는 것이다. 능한 대안들은 다음의 네 방식 중의 하나일 것이다. 술어 에는 (i) 함수 들의 -중체들의 집합이 할당되는 것, (ii) 각 사태기술 에서의 개별상항들의 중체들의 집합이 할당되는 것, (iii) 사태기술 를 개별상항들의 중체들의 집합에 대응시키는 함수 가 할당되는 것, (iv) 가능한 모든 개별상항들의 집합에 대해 그 원소들의 중체들의 집합이 할당되는 것이 고려될 수 있다.

그런데 (ii)의 경우에는 술어 에 각 사태기술에서의 개별상항들의 중체들의 집합 하나가 할당되는 것이 아니라 모든 사태기술에서의 개별상항들의 중체들의 집합들 모두가 할당되어야 한다. 이 경우에는 표준적인 1차 술어 논리에서와 같이 개별상항들의 중체가 의 원소인 경우를 진리조건으로 정의할 수가 없게 된다. 왜냐하면 의 원소는 개별상항들의 중체가 아니라 그것들의 집합이기 때문이다. 한편 (iii)의 경우처럼 술어 에 사태기술 를 개별상항들의 중체들의 집합에 대응시키는 함수 가 할당된다고 가정한다면 술어에 뒤따르는 개별변항 에 함수 를 할당할 필요가 없어진다. 그러므로 이 가정 역시 적절하지 못한 것으로 보인다. 그렇다면 남는 대안은 (i)과 (iv)인데, 필자가 보기에는 (iv)가 카르납의 근본 의도를 더 잘 설명하는 것 같다. 위에서 인용된 카르납의 주장([1947], 183쪽)에 따르면 (iv)가 카르납이 말한 바와 유사하고 또한 이것은 대부분의 오늘날의 양화양상논리체계가 택하는 방식이다.

하지만 (i)을 긍정적으로 고려할 수 있는 중요한 이유가 하나 있다. 그것은 카르납이 어떤 사태기술에서 에 할당되는 개별상항이 존재하지 않는 경우에 대해서 고민하지 않았다는 점 때문이다. 그런 경우를 고려한다면 양화양상논리 체계를 고려할 때 직면하게 되는 일반적인 문제들 중의 하나인 자유논리(free logic)적인 측면이 연관된다.(Garson[1989]) 하지만 카르납[1947]은 변항에 할당된 개별상항이 그 사태기술에 존재하지 않는 경우, 혹은 이와 관련해서 문장이 진리값을 갖지 않는 경우에 대한 고려를 전혀 하지 않은 것으로 보인다. 즉 카르납은 모든 사태기술에서 변항에 항상 어떤 개별상항이 할당되고 또한 모든 문장들은 진리값을 갖는다고 전제한 것으로 보인다. 그러나 (iv)의 경우에도, 다소 부자연스럽기는 하지만, 단지 의미론적 모형을 설정하면서 모든 개별상항들이 각각의 사태기술에 존재한다는 단서를 추가함으로써 해결할 수도 있다.

이상의 내용을 토대로 CQML의 구문론과 의미론을 정리하자면 다음과 같이 될 것이며 그 세부 내용은 기브런과 모스토프스키(Gheerbrant & Mostowski[2006], 87-88쪽)가 정리한 바와 같다.

CQML에서 가 순수하게 관계적 어휘들이고, ��를 모든 1차 변항들의 집합이라고 하자.

[정의 2.1] 우선 우리는 어휘 의 원자 식들의 집합 를 정의한다.

{}{, 는 에서의 항 술어이다.}

는 최소 집합 인데 는 를 포함하고, 다음의 조건을 만족시킨다. 즉, 만약 이면,

1. ,

2. ,

3. ,

4. 각각의 에 대해서, 이다.

이상의 구문론적 정의에서 원자식들의 집합 에 명제문자 가 속하지 않는다는 것은 사소하지만 특징적이다. 위에서 이미 언급한 바와 같이 확실히 카르납([1947], 5쪽)은 참의 규칙을 정의하면서 PL의 원자식으로서 “개별 상항이 뒤따르는 술어”에 대해서만 언급한다.

한편 CQML의 형식적 의미론은 다음과 같이 정의될 수 있겠다.

[정의 2.2] 을 -모형이라 하자. 임의의 함수 ��을 “에서의 값부여(valuation)”이라 한다. 우리는 “값부여 하에서의 모형 에서의 식 의 만족 관계”를 다음과 같이 정의한다.

1. 에 대해서, 는 1차 논리의 경우와 동일한 방식으로 정의된다.

2. 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.

(i) 이다.

(ii) 만약 이면 이다.

(iii) 모든 에 대해서 이다.

(iv) 인 모든 -모형 에 대해서 이다.

제일 마지막 구절인 [정의 2.2]의 2의 (iv)에서 인 까닭은 앞에서 논의했던 바와 같이 각 사태기술에 존재하는 개별상항들의 집합이 모두 동일하다는 것을 의미한다. 한편 린드스트룀(Lindström[1998])은 카르납의 양상논리체계를 명제양상논리체계(CPML)와 양화양상논리체계(CQML)의 구분없이 한꺼번에 형식화하면서 이 점을 빠뜨리고 있는 것으로 보인다.