러셀의 역설: 내용과 의미

 

 

 

참고문헌: M.K. 뮤니츠/박영태 역(1996), 『현대 분석철학』, 서광사, 149쪽.


프레게 철학에 대한 상세한 설명: 프레게의 철학

<러셀의 역설>

사람들의 집합에 대해 그 집합까지 사람이라고 주장하는 것은 아무도 원하지 않을 것이다. 여기서 그 자신에는 속하지 않는 하나의 집합이 나타난다. 즉 나는 만약에 어떤 것이 자신이 속하고 있는 집합을 그 외연으로 가지고 있는 개념에 속한다면 그것은 그 집합에 속한다고 말한다.

그러면 자신에게 속하지 않는 집합이라는 개념에 대해 우리들의 관심을 고정시키자. 이러한 개념의 외연은 (만약에 그것의 외연에 관해 말한다면) 따라서 그 자신들에게 속하지 않는 집합들의 집합이다. 간단히 말해서 이것을 집합 C라고 부르자.

그러면 이러한 집합 C가 그 자신에게 속하는가의 여부를 물어 보자. 첫번째로 그것이 그 자신에게 속한다고 가정해 보자.

만약에 어떤 것이 하나의 집합에 속한다면, 그것은 그 집합을 외연으로 가지는 개념들에 속한다. 따라서 집합 C가 그 자신에게 속한다면 그것은 그 자신에게 속하지 않는 집합이 된다. 이렇게 우리의 첫번깨 가정은 우리를 자기-모순으로 인도한다.

두번째로 집합 C가 그 자신에게 속하지 않는다고 가정해 보자. 그러면 그것은 그 자신이 외연이 되는 개념에 속한다. 그러면 그것은 가지신에 속하게 된다. 여기서 다시 모순이 나타난다.


<러셀의 역설>의 철학사적 의미

프레게는 수학의 법칙들을 논리적으로 엄밀하게 증명하려는 목표를 가지고 연구하였다. 그리하여 새로운 논리학적 개념들을 개발하는 동시에 수학의 체계를 집합(class)의 개념들로 논리정연하게 체계화하는 작업에 인생을 걸었다. 그 계획이 거의 완성 단계에 있을 때, 프레게는 러셀로부터 한 통의 편지를 받았다. 그 편지에서 러셀은 프레게의 집합 개념의사용에 하나의 역설이 있음을 지적하였다. 그리고 이 때문에 프레게는 자신의 일생 일대의 작업이 수포로 돌아감을 발견하게 되었다. 당시에 출판 준비를 하고 있던 저서인 <산수의 근본 법칙들>이라는 책의 부록에서 프레게는 이 상황을 다음과 같이 쓰고 있다.

 

일이 다 끝난 후에 자신의 체계의 기초들 가운데 중요한 하나가 흔들리고 있다는 사실을 알게 되는 것이 과학적인 저자에게 발생할 수 있는 가장 불행한 일인 것 같다.

나는 이 책(제2권)의 인쇄가 거의 끝나갈 즈음에 버트런트 러셀로부터 한 통의 편지를 받고 이러한 낭패에 빠지게 되었다. 그것은 나의 기본 법칙(V)에 관한 문제이다. 나는 다른 법칙들도 가지고 있고, 논리학의 법칙으로서 당연하게 가져야만 하는 자명성을 그 법칙이 결여하고 있다는 점을 내 스스로 감추지 않았다. ... 내가 만약에 그 법칙을 대신할 수 있는 어떤 것을 알고 있었더라면, 그 기촐르 기쁘게 포기했을 것이다. 그리고 지금까지도 만약에 하나의 개념으로부터 그 외연으로 - 비록 조건적일지라도- 전이시킬 수 없다면, 산수가 어떻게 과학적으로 정초될 수 있는가와 수들이 어떻게 논리적 대상들로서 간주될 수 있으며 탐구될 수 잇는가를 나는 알지 못한다. ...<이하 생략>

이후에 논리주의는 프레게에서 러셀로 승계되고, 러셀은 <수학원리>에서 계층이론(level-theory)을 도입하여 프레게가 저지른 실수를 보완하려고 한다. 하지만 여기에도 한계가 있어서, 요즘의 수학 체계들에서는 러셀의 계층이론이 별로 활용되지 않는다.

러셀의 역설은, 이렇게 한 학자(그것도, 세계적인 학자)의 일생의 연구를 뒤흔드는 역설이었다. 이것은 나쁘게 보면 하나의 이론이 실패로 끝나는 것이기도 하지만, 좋게 보면 그 학자들이 연구하는 분야가 그만큼 옳고 그름이 분명한 분야라는 것, 그래서 그 내용을 신뢰할 수 있는 분야라는 것을 의미한다고 나(파깨비)는 생각한다.

그리고 이와 유사한 일이 괴델에 의해서 이후에 다시 발생한다.(괴델의 불완전성 정리의 구조)



<영화로 읽는 윤리학>

 

 

 

 

 

 

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