더글러스 호프스태터,어니스트 네이글,제임스 뉴먼 공저/고중숙,곽강제 공역(2010), <괴델의 증명> 도서출판 승산

13-15쪽 일부 발췌


 

괴델의 업적 - 아주 간단한 설명

 

괴델의 업적은 대체 무엇에 관한 것인가? 그것은 다음과 같다.

 

  괴델은 수학적 사고가 엄격한 공리적 체계에 의해서 포착될 수 있다고 믿었던 사람들의 희망이 사실상 달성될 수 없다는 것을 증명하였다.

 

괴델 당시의 수학계는 수학을 "형식적 연역 체계"로 구성하기 위해 열심히 노력해야 한다는 분위기에 휩싸여 있었다.

당시 수학자들은 수학적 사고가 순수한 기호 조작의 규칙들에 의해 포착될 수 있다고 확신하였다.

수학자들은 일련의 명확한 공리와 일련의 명확한 표기 규칙을 설정한 다음에 그로부터 기호글을 조직하여 "정리"라고 불리는 새로운 기호 두름을 만들어낼 수 있었다.

수학계의 이 운동은 버트런트 러셀과 알프레드 화이트헤드가 지은 <수학원리>(Principia Mathematica)라는 세 권으로 된 기념비적인 저서에 이르러 절정을 이루게 되는데, 이 책은 1910년부터 1913년에 걸쳐 출판되었다.

러셀과 화이트헤드는 수학의 모든 분야를 '순수 논리학'(pure logic)의 토대 위에 세웠다고 믿었으며, 더 나아가 그들의 저작이 앞으로 수학의 모든 분야의 튼튼한 토대로 영원히 사용될 것이라고 믿었다.

 

하지만 20년 후에 괴델은 <수학 원리> 속의 지극히 엄밀한 기호들의 패턴이 실은 수 패턴과 똑같다는 것을 파악했다. 괴델은 실제로 모든 기호를 수로 대치할 수 있었고, 그래서 <수학 원리>의 모든 작업은 "기호 조작"이 아니라 "수치 처리"라고 바꾸어 이해할 수 있었다.

이 새로운 이해방식은 원래 <수학 원리>의 주제가 수(number)였고, 괴델이 <수학 원리>에서 사용되었던 매개 수단까지도 수로 바꾸었기 때문에, <수학 원리>는 제 자신을 주제로 삼고 있다는 사실, 달리 말하면 러셀과 화이트헤드의 체계 속에서 만들어진 형식문들이 서로 상대방에 관해서 말할 뿐만 아니라 제 자신에 관해서도 말하는 것으로 간주할 수 있다는 사실을 증명할 수 있었다. (괴델의 불완전성 정리 증명을 기술적으로 이해하기 위해서는 이 대목이 중요함:- 파깨비)

 

괴델은 <수학 원리>의 논리적 요새를 공격해서 그 요새를 무너뜨려 폐허로 만들어버린 것이다. 괴델은 또한 자신의 방법이 <수학 원리>의 목표를 달성하려고 시도하는 체계라면 어느 체계에나 적용된다는 것도 증명하였다.

그래서 결과적으로 괴델은 수학적 사고가 엄격한 공리적 체계에 의해서 포착될 수 있다고 믿었던 사람들의 희망을 파괴하였다.

이것을 다르게 설명하면 다음과 같다.

 

 

괴델이 1931년에 발표한 논문은 바로 이 "연역 체계" 특히 "형식화된 연역 체계"의 속성, 달리 말하면 그런 체계를 만들 때에 사용되는 "공리적 방법"의 속성을 연구한 논문이다. 괴델이 논리학과 수학을 대상으로 삼은 것은 당연하다. 논리학과 수학이야말로 공리적 방법을 가장 빈번히 사용하고 또 가장 효과적으로 이요하는 학문인 데다가, 논리학자와 수학자가 공리적 방법에 가장 큰 기대를 걸고 있었기 때문이다.

그러나 괴델이 최종적으로 밝힌 것은 괴델이 예로 삼은 산술학의 모든 진리를 연역해낼 수 있는 연역체계를 세우는 일, 바꾸어 말하면 산술학의 모든 진리를 일련의 공리로 압축하는 일이 불가능하다는 것이다. 이 말은 거꾸로 생각해 보아야 진짜 중요한 뜻을 이해할 수 있는 말이다. 왜냐하면 실은 이 말은 인간 지성의 창의력은 "공리적 방법"으로 만들어지는 연역 체계 속에 갇히지 않는다는 뜻이기 때문이다.(같은 책 27쪽)

 

 

 

 

<철학, 지식이 아닌 지혜>

 

 

 

 

 

 

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